Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+a
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小正周期以及單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最大值，再根據(jù)最大值為4求得a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+a=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1，
故函數(shù)的周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，函數(shù)f（x）的最大值為2+a+1=4，∴a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．