Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E為PC的中點．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求求三棱錐C-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）令PD中點為F，連接EF，由已知條件推導出四邊形FABE為平行四邊形，由此能證明BE∥面PAD．
（2）由題意，三棱錐C-BDE的高為$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$，即可求三棱錐C-BDE的體積．

解答 （1）證明：令PD中點為F，連接EF，
∵點E，F(xiàn)分別是△PCD的中點，
∴EF平行且等于$\frac{1}{2}$CD，∴EF平行且等于AB．
∴四邊形FABE為平行四邊形．
∴BE∥AF，AF?平面PAD，EF?平面PAD，
∴BE∥面PAD；
（2）解：由題意，三棱錐C-BDE的高為$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$，
∴三棱錐C-BDE的體積為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐C-BDE的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．