Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-x+1．
（1）若y=f（x）-kx在[4，+∞）單調(diào)遞增，求k的取值范圍；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+2m在區(qū)間（-1，0）上存在零點，求a的取值范圍；
（3）設(shè)g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于k的不等式，解出即可；
（2）先求出函數(shù)的對稱軸，結(jié)合函數(shù)的零點定理得到h（-1）＞0，h（0）＜，解不等式即可；
（3）先求出g（t）的表達(dá)式，求出函數(shù)的對稱軸，通過討論對稱軸的位置，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出g（t）的最大值即可．

解答 解：（1）y=f（x）-kx=x²-（k+1）x+1，
對稱軸x=$\frac{k+1}{2}$，
若y=f（x）-kx在[4，+∞）單調(diào)遞增，
則$\frac{k+1}{2}$≤4，解得：k≤7；
（2）h（x）=f（x）+2m=x²-x+1+2m，
對稱軸x=$\frac{1}{2}$，
若函數(shù)h（x）=f（x）+2m在區(qū)間（-1，0）上存在零點，
則h（-1）=3+2m＞0，h（0）=1+2m＜0，
∴-$\frac{3}{2}$＜m＜-$\frac{1}{2}$；
（3）g（t）=f（2t+a）=4t²+（4a-2）t+a²-a+1，t∈[-1，1]，
對稱軸x=-$\frac{2a-1}{4}$，
①-$\frac{2a-1}{4}$≤-1即a≥$\frac{5}{2}$時：
g（t）在[-1，1]遞增，
g（t）_max=g（1）=a²+3a+3，
②-1＜-$\frac{2a-1}{4}$≤0即0≤a＜$\frac{5}{2}$時：
g（t）在[-1，-$\frac{2a-1}{4}$）遞減，在（-$\frac{2a-1}{4}$，1]遞增，
g（t）_max=g（1）=a²+3a+3，
③0＜-$\frac{2a-1}{4}$≤1即-$\frac{3}{2}$≤a＜0時：
g（t）在[-1，-$\frac{2a-1}{4}$）遞減，在（-$\frac{2a-1}{4}$，1]遞增，
g（t）_max=g（-1）=a²-5a+7，
④-$\frac{2a-1}{4}$＞1即a＜-$\frac{3}{2}$時：
g（t）在[-1，1]遞減，
g（t）_max=g（1）=a²-5a+7．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論，是一道中檔題．