Question

8．定義$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}+\frac{1}{_{2}_{3}}+…+\frac{1}{_{9}_{10}}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{11}$
• B． $\frac{9}{10}$
• C． $\frac{10}{11}$
• D． $\frac{11}{12}$

Answer 1

分析 首先根據(jù)信息建立等量關系，進一步求出數(shù)列的通項公式，最后利用裂項相消法求出結果．

解答 解：定義$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個正數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”．
所以：已知數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，
即：$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$
所以：S_n=n（2n+1）
則：a_n=S_n-S_n-1=4n-1，
當n=1時，也成立．
則：a_n=4n-1．
由于：b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n，
所以：$\frac{1}{_{n}_{n+1}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
則：$\frac{1}{_{1}_{2}}+\frac{1}{_{2}_{3}}+…+\frac{1}{_{9}_{10}}$=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$）
=1-$\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$
故選：B

點評 本題考查的知識要點：信息題型的應用，數(shù)列通項公式的求法，利用裂項相消法求數(shù)列的和．