Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（a-1）x²+b²x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，則函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由導(dǎo)數(shù)易得函數(shù)單調(diào)遞增需a-1≤b，列舉可得總的基本事件數(shù)，易得符合題意的基本事件數(shù)，由概率公式可得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-（a-1）x²+b²x，
∴f′（x）=x²-2（a-1）x+b²，
要使函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，需f′（x）=x²-2（a-1）x+b²≥0，
即△=4（a-1）²-4b²≤0，即a-1≤b，
∵a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，
∴總的基本事件為（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），
（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共12個，
其中滿足a-1≤b的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），
（2，3），（3，2），（3，3），（4，3）共9個，
∴所求概率為P=$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$
故選：D．

點評 本題考查列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，涉及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．