Question

若a∈R，求函數(shù)f（x）=x+

a

x

分別在下列區(qū)間上的值域．
（1）（0，3]；
（2）[5，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的值域．

解答： 解：∵f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
（1）a＜0時，f（x）在定義域上遞增，
x→0時，f（x）→-∞，x=3時，f（x）=

9+a

3

，
∴f（x）的值域是：（-∞，

9+a

3

]；
a=0時，f（x）=x，
∴f（x）的值域是：（0，3]；
0＜a＜9時，f（x）在（0，

a

）遞減，在（

a

，3]遞增，
x→0時，f（x）→+∞，x=

a

時，f（x）_min=f（

a

）=2

a

，
∴f（x）的值域是：[2

a

，+∞），
a≥9時，f（x）在（0，3]遞減，
x→0時，f（x）→+∞，x=3時，f（x）_min=f（3）=

9+a

3

，
∴f（x）的值域是：[

9+a

3

，+∞）；
（2）a＜0時，f（x）在定義域上遞增，
x=5時，f（x）=

25+a

5

，x→+∞時，f（x）→+∞，
∴f（x）的值域是：[

25+a

5

，+∞）；
a=0時，f（x）=x，
∴f（x）的值域是：[5，+∞），
0＜a≤25時，f（x）在[5，+∞）遞增，
∴f（x）的值域是：[

25+a

5

，+∞），
a＞25時，f（x）在[5，

a

）遞減，在（

a

，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（

a

）=2

a

，x→+∞時，f（x）→+∞，
∴f（x）的值域是：[2

a

，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的值域問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了分類討論思想，是一道中檔題．