Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（|φ|＜$\frac{π}{2}$），且函數(shù)y=f（2x+$\frac{π}{4}$）得圖象關(guān)于直線x=$\frac{7π}{24}$對(duì)稱
（1）求φ的值；
（2）若$\frac{π}{3}$＜α$＜\frac{5π}{12}$，且f（α）=$\frac{4}{5}$，求cos4α得值；
（3）若0＜θ＜$\frac{π}{8}$時(shí)，不等式f（θ）+f（θ+$\frac{π}{4}$）＜|m-4|恒成立，試求實(shí)數(shù)m得取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先對(duì)函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，進(jìn)一步利用函數(shù)的對(duì)稱軸求出函數(shù)的φ的值．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步求出函數(shù)的解析式，再利用已知的條件求出函數(shù)的值．
（3）利用恒成立問題，進(jìn)一步求出參數(shù)的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ
=sin（2x+φ），
則y=f（2x+$\frac{π}{4}$）=sin（4x+$\frac{π}{2}$+φ）=cos（4x+φ），
由于函數(shù)y=f（2x+$\frac{π}{4}$）=cos（4x+φ）圖象關(guān)于直線x=$\frac{7π}{24}$對(duì)稱，
所以：$\frac{7π}{6}$+φ=kπ，
解得：φ=kπ-$\frac{7π}{6}$，
由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以：當(dāng)k=1時(shí)，φ=-$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）得：函數(shù)的解析式為：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由于：$\frac{π}{3}＜α＜\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}＜2α-\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，
且f（α）=$\frac{4}{5}$，
所以：sin（2$α-\frac{π}{6}）$=$\frac{4}{5}$，cos（2$α-\frac{π}{6}）$=-$\frac{3}{5}$，
則：cos2α=cos（$2α-\frac{π}{6}+\frac{π}{6}$）=$cos（2α-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}$-$sin（2α-\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$=$\frac{-3\sqrt{3}-4}{10}$．
所以：cos4α=2cos²2α-1=$\frac{24\sqrt{3}-7}{50}$；
（3）f（θ）+f（θ+$\frac{π}{4}$）
=$sin（2θ-\frac{π}{6}）$+sin（2$θ+\frac{π}{3}）$
=$\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{12}）$，
當(dāng)0＜θ＜$\frac{π}{8}$時(shí)，
$\frac{π}{12}＜2θ+\frac{π}{12}＜\frac{π}{3}$，
所以：$[\sqrt{2}sin（2θ+\frac{π}{12}）]_{max}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
不等式f（θ）+f（θ+$\frac{π}{4}$）＜|m-4|恒成立，
只需滿足|m-4|$＞\frac{\sqrt{6}}{2}$即可．
所以：$m＞4+\frac{\sqrt{6}}{2}或m＜4-\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用函數(shù)的對(duì)稱軸求函數(shù)的解析式，函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的值．