Question

17．已知數(shù)列通項(xiàng)a_n=lg[100×$（\frac{\sqrt{2}}{2}）$^n-1]
（1）寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)通項(xiàng)公式計(jì)算；
（2）使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，計(jì)算a_n+1-a_n的值，判斷是否為常數(shù)．

解答 解：（1）a₁=lg100=2，a₂=lg（100×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=lg100+lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2+lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a₃=lg[100×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²]=lg100+lg（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=2+2lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵a_n=lg[100×$（\frac{\sqrt{2}}{2}）$^n-1]=lg100+lg$（\frac{\sqrt{2}}{2}）$^n-1=2+（n-1）lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴a_n+1=2+nlg$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a_n+1-a_n=nlg$\frac{\sqrt{2}}{2}$-（n-1）lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$=lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$為公差的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，等差數(shù)列的判斷，屬于基礎(chǔ)題．