Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-2x+2，若f（x）在區(qū)間（1，4）上有f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得，ax²-2x+2＞0在區(qū)間（1，4）上恒成立．即$a＞-\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{2}{x}=2（-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}）$在區(qū)間（1，4）上恒成立．然后利用二次函數(shù)求最值得答案．

解答 解：∵f（x）=ax²-2x+2，且f（x）在區(qū)間（1，4）上有f（x）＞0恒成立，
∴ax²-2x+2＞0在區(qū)間（1，4）上恒成立．
即ax²＞2x-2在區(qū)間（1，4）上恒成立．
也就是$a＞-\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{2}{x}=2（-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}）$在區(qū)間（1，4）上恒成立．
令g（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$，
∵1＜x＜4，∴$\frac{1}{4}＜\frac{1}{x}＜1$，
∴當(dāng)$\frac{1}{x}=\frac{1}{2}$，即x=2時(shí)，$g（x）_{max}=g（2）=\frac{1}{4}$，
則a$＞2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查了分離變量法，訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法，是中檔題．