Question

15．在△ABC中，BC=2，∠A=45°，∠B為銳角，點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范圍是（-2，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 首先建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)直角坐標(biāo)系確定各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成利用定義域求三角函數(shù)的值域．最后求的結(jié)果

解答 解：如圖所示：|BC|=2，∠BOC=90°，∠CAB=45°，
由于∠B為銳角，則：點(diǎn)A只能在左半圓上，
故設(shè)∠AOB=θ：A（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ）（$\frac{π}{2}$$＜θ＜\frac{3π}{2}$）
B（$\sqrt{2}$，0），C（0，$\sqrt{2}$）
所以：$\overrightarrow{OA}$=（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），$\overrightarrow{BC}$=（$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$）
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=-2cosθ+2sinθ=2$\sqrt{2}$sin（$θ-\frac{π}{4}$），因為$\frac{π}{2}$$＜θ＜\frac{3π}{2}$，
所以$\frac{π}{4}＜θ-\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$
則：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（$θ-\frac{π}{4}$）≤1，
所以-2＜2$\sqrt{2}$sin（$θ-\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$，
故答案為：（-2，2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的恒等變換，利用正弦型函數(shù)的定義域求值域．