Question

20．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=1，${S_n}=\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}+n$（n≥2，n∈N₊）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)${c_n}={2^{a_n}}•{a_n}$，求{c_n}的前n項和 T_n．

Answer 1

分析 （1）化簡${S_n}=\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}+n$可得$\frac{S_n}{n}=\frac{{{S_{n-1}}}}{n-1}+1$，從而可求得${S_n}={n^2}$；從而可判斷{a_n}為等差數(shù)列，從而解得；
（2）化簡${c_n}=（2n-1）•{2^{2n-1}}$，從而利用錯位相減法化簡即可．

解答 解：（1）n≥2時，${S_n}=\frac{n}{n-1}{S_{n-1}}+n$，
兩邊同除以n得，
$\frac{S_n}{n}=\frac{{{S_{n-1}}}}{n-1}+1$，
故$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+（n-1）=n，
故${S_n}={n^2}$；
故{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則${n^2}=\fracp3fujng{2}{n^2}+（{a_1}-\fracp2u7ifi{2}）n$，
則d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N₊．
（2）由（1）知，${c_n}=（2n-1）•{2^{2n-1}}$，
T_n=2+3•2³+5•2⁵+…+（2n-1）2^2n-1，
4T_n=2³+3•2⁵+5•2⁷…+（2n-1）2²ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，
3T_n=-2（1+2³+2⁵+2⁷…+2^2n-1）+（2n-1）2²ⁿ⁺¹，
化簡得，${T_n}=（\frac{8}{3}n-\frac{20}{9}）{2^{2n-1}}+\frac{10}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查了轉(zhuǎn)化的思想的應(yīng)用及錯位相減法的應(yīng)用．注意等差數(shù)列的四種判斷方法．