Processing math: 82%
15.已知函數(shù)fx=2lnx+1+12mx22m+1x
(Ⅰ)若x=1是f(x)的極值點,求f(x)的極值;
(Ⅱ)若f(x)有兩個極值點,求m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;
(Ⅱ)求出函數(shù)的導數(shù),通過討論m的范圍,求出函數(shù)的單調區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的極值點的個數(shù),確定m的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=2x+1+mx-(2m+1),
由已知得,f′(1)=1-m=0,m=1,
此時f′(x)=x1x2x,
由f′(x)=0,得x=1或x=2,
隨x的變化f′(x)、f(x)的變化情況如下:

x(0,1)1(1,2)2(2,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)遞增極大值遞減極小值遞增
故f(x)極大值為f(1)=-52;f(x)極小值為f(2)=2ln2-4;
(Ⅱ)f(x)定義域為(0,+∞),
f′(x)=mx1x2x+1,
(1)當m=0時,f′(x)=x+2x+1,
x∈(0,2),f′(x)>0,x∈(2,+∞),f′(x)<0,
所以x=2時,f(x)取得極大值;
(2)當m≠0時,由f′(x)=0,得x=2或x=1m,
①若m<0,則1m<0,x∈(0,2),f′(x)>0,x∈(2,+∞),f′(x)<0,
所以x=2時,f(x)取得極大值;
②若m=12,則1m=2,f′(x)=x222x≥0,
f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),無極值;
③若0<m<12,則1m>2,隨x的變化f′(x)、f(x)的變化情況如下:
x(0,2)2(2,1m1m1m,+∞)
f′(x))+0-0+
f(x)遞增極大值遞減極小值遞增
所以,當x=2時,f(x)取得極大值;當x=1m時,f(x)取得極小值.
④若m>12,則0<1m<,隨x的變化f′(x),f(x)的變化情況如下:
x(0,1m1m1m,2)2(2,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)遞增極大值遞減極小值遞增
所以,當x=1m時,f(x)取得極大值;當x=2時,f(x)取得極小值,
綜上:f(x)有兩個極值點,m的取值范圍是(0,12)∪(12,+∞).

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題,考查導數(shù)的應用以及分類討論思想,是一道綜合題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

5.設m=3sinx41n=cosx4cos2x4,函數(shù)f(x)=mn
(1)當x=π時,求函數(shù)f(x)的值;
(2)已知△ABC的三個內角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,且滿足bcosC+12c=a,求△ABC的內角B的大�。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

6.如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對于任意x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),則稱f(x)為“H函數(shù)”.給出下列函數(shù):
①y=-x3+x+l;
②y=3x-2(sinx-cosx);
③y=l-ex;
④f(x)={lnxx10x1,
其中“H函數(shù)”的個數(shù)有( �。�
A.3個B.2個C.1個D.0個

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

3.已知fx=lnxx,則( �。�
A.f(2)>f(e)>f(3)B.f(3)>f(e)>f(2)C.f(3)>f(2)>f(e)D.f(e)>f(3)>f(2)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

10.已知y=f(x+1)+2是定義域為R的奇函數(shù),則f(0)+f(2)=-4.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

20.要測量電視塔AB的高度,在C點測得塔頂?shù)难鼋鞘?5°,在D點測得塔頂?shù)难鼋鞘?0°,并測得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,則電視塔的高度是( �。�
A.30mB.40mC.403mD.402m

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

7.若圓C1x2+y2+ax=0與圓{C_2}:{x^2}+{y^2}+2ax+ytanθ=0都關于直線2x-y-1=0對稱,則sinθcosθ=-\frac{2}{5},.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,∠ABC=60°,E是BC中點,M是PD上的中點,F(xiàn)是PC上的動點.
(Ⅰ)求證:平面AEF⊥平面PAD
(Ⅱ)直線EM與平面PAD所成角的正切值為\frac{\sqrt{6}}{2},當F是PC中點時,求二面角C-AF-E的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

5.在平面直角坐標系xOy中,將直線y=x與直線x=1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉一周得到一個圓錐,圓錐的體積V圓錐={∫}_{0}^{1}πx2dx=\frac{π}{3}x3|{\;}_{0}^{1}=\frac{π}{3}.據(jù)此類比:將曲線y=2lnx與直線y=1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉一周得到一個旋轉體,該旋轉體的體積V=π(e-1).

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
鍏� 闂�