【題目】如圖，四棱錐，，，，為等邊三角形，平面平面，為中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）證明及，即可證明：平面，問題得證。

（2）建立空間直角坐標系，由（1）得為平面的法向量，求得平面的法向量為，利用空間向量夾角的數(shù)量積表示即可求得二面角的余弦值.

（1）證明：因為，，

所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面.

又平面，所以，

因為為中點，且為等邊三角形，所以.

又，所以平面.

（2）取中點為，連接，因為為等邊三角形，所以，

因為平面平面，所以平面，

所以，由，，

可知，所以.

以中點為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

所以，，，，，

所以，，

由（1）知，為平面的法向量，

因為為的中點，

所以，

所以，

設平面的法向量為，

由，得，

取，則.

所以 .

因為二面角為鈍角，

所以，二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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某學校為了了解高一年級420名學生選考科目的意向,隨機選取30名學生進行了一次調(diào)查,統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表:

性別

選考方案確定情況

物理

化學

生物

歷史

地理

政治

男生

選考方案確定的有6人

6

6

3

1

2

0

選考方案待確定的有8人

5

4

0

1

2

1

女生

選考方案確定的有10人

8

9

6

3

3

1

選考方案待確定的有6人

5

4

0

0

1

1

（Ⅰ）試估計該學校高一年級確定選考生物的學生有多少人？

（Ⅱ）寫出選考方案確定的男生中選擇“物理、化學和地理”的人數(shù).（直接寫出結果）

（Ⅲ）從選考方案確定的男生中任選2名,試求出這2名學生選考科目完全相同的概率.

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