Question

2．曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{t}}\\{y=\frac{1}{t}\sqrt{{t}^{2}-1}}\end{array}\right.$，直線l：ρcosθ+ρsinθ=a
（1）寫出曲線C和直線l的普通方程；
（2）直線l與曲線C有公共點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將曲線C的兩式平方相加可得，曲線C的普通方程，注意范圍；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直線l的普通方程；
（2）求得直線和圓相切的a值，以及直線過點（-1，0），（1，0），可得a值，結(jié)合直線和曲線有交點，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）將曲線C的兩式平方相加可得，
曲線C的普通方程為：x²+y²=1（xy＞0或y=0），
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得
直線l的普通方程為：x+y=a．
（2）當(dāng)直線和圓相切時，
d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$=1，解得a=±$\sqrt{2}$，
當(dāng)直線經(jīng)過點（1，0）時，a=1，
當(dāng)直線經(jīng)過點（-1，0）時，a=-1，
由直線l與曲線C有公共點，
則a∈[-$\sqrt{2}$，-1]∪[1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，同時考查直線和圓的位置關(guān)系，考查觀察和運算能力，屬于中檔題和易錯題．