9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=$\frac{1}{2},{a_{n+1}}=\frac{n+1}{2n}{a_n}$.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=n(2-Sn),n∈N*,若bn≤λ,n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
(3)設(shè)Cn=$\frac{{({2-{S_n}})}}{n(n+1)},n∈{N^*}$,Tn是數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和,證明$\frac{3}{4}$≤Tn<1.

分析 (1)先化簡(jiǎn)遞推公式,由等比數(shù)列的定義判斷出:數(shù)列$\{\frac{a_n}{n}\}$是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an
(2)由(1)和條件求出bn,利用作差法判斷出數(shù)列{bn}的單調(diào)性,可求出bn的最大值,再求實(shí)數(shù)λ的取值范圍;
(3)由(1)化簡(jiǎn)Cn=$\frac{(2-{S}_{n})}{n(n+1)}$,利用裂項(xiàng)相消法求出Tn,利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出Tn的單調(diào)性,結(jié)合n的取值范圍求出Tn的范圍,即可證明結(jié)論.

解答 解:(1)由已知得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{1}{2}\frac{a_n}{n}$,其中n∈N*
∴數(shù)列$\{\frac{a_n}{n}\}$是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列,
又首項(xiàng)${a_1}=\frac{1}{2}$,則$\frac{a_n}{n}={(\frac{1}{2})^n}$,∴${a_n}=n{(\frac{1}{2})^n}$….4分
(2)由(1)知${S_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$
∴$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$
兩式相減得:$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$,
∴$\frac{1}{2}{S_n}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$,∴${S_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$….7分
∵bn=n(2-Sn),∴${b_n}=\frac{n(n+2)}{2^n}$,
∴${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{(n+1)(n+3)}{{{2^{n+1}}}}-\frac{n(n+2)}{2^n}=\frac{{-{n^2}+3}}{{{2^{n+1}}}}$
則當(dāng)n=1,b2-b1>0,即b2>b1,
當(dāng)n≥2,bn+1-bn<0,即bn+1<bn,b2是最大項(xiàng)且b2=2,
∴λ≥2.….9分
證明:(3)由(1)得,${C}_{n}=\frac{(2-{S}_{n})}{n(n+1)}=\frac{n+2}{{2}^{n}•n(n+1)}=\frac{1}{{2}^{n}}(\frac{n+2}{n}-\frac{n+2}{n+1})=2(\frac{1}{n{2}^{n}}-\frac{1}{(n+1){2}^{n+1}})$,
∴${T_n}=2(\frac{1}{{{2^1}•1}}-\frac{1}{{{2^2}•2}}+\frac{1}{{{2^2}•2}}-\frac{1}{{{2^3}•3}}+…+\frac{1}{{n•{2^n}}}-\frac{1}{{(n+1)•{2^{n+1}}}})$=$1-\frac{1}{{{2^n}(n+1)}}$…12分
又令f(n)=$\frac{1}{{{2^n}(n+1)}}$,顯然f(n)在n∈N*時(shí)單調(diào)遞減,
∴0<f(n)≤f(1)=$\frac{1}{4}$,
故$\frac{3}{4}≤{T_n}<1$…13分.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,以及數(shù)列的函數(shù)特征和判斷數(shù)列單調(diào)性的方法:作差法、基本初等函數(shù)的單調(diào)性,考查化簡(jiǎn)、變形能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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①“恰有一個(gè)是偶數(shù)”和“恰有一個(gè)是奇數(shù)”
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③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù);
④“兩個(gè)都是奇數(shù)”和“兩個(gè)都是偶數(shù)”.
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(1)根據(jù)如圖兩個(gè)直方圖完成2×2列聯(lián)表:
成績(jī)性別優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)
男生
女生
總計(jì)
(2)根據(jù)(1)中表格的數(shù)據(jù)計(jì)算,你有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與性別之間有關(guān)系?
K02.0722.0763.8145.0246.6357.87910.828
P(K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001

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