Question

18．已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x+3，試求f（x）在R上的表達(dá)式，并畫(huà)出圖象，根據(jù)圖象寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 設(shè)x＜0則-x＞0，利用已知的解析式和偶函數(shù)的性質(zhì)求出x＜0時(shí)的解析式，用分段函數(shù)的形式表示出來(lái)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象畫(huà)出f（x）的圖象，由圖象求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵x≥0時(shí)，f（x）=x²-2x+3，∴f（-x）=x²+2x+3，
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=x²+2x+3，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+3，x＜0}\end{array}\right.$，
由二次函數(shù)的圖象畫(huà)出此函數(shù)的圖象：
由圖可得：函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（-1，0）、（1，+∞），
減區(qū)間是（-∞，-1）、（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象，以及分段函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．