Question

1．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$+bx在x=1處取得極值-$\frac{5}{2}$．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（1）=-$\frac{5}{2}$，f′（1）=0，求出a，b的值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$+bx，
定義域是（0，+∞），
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+x+b，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-\frac{5}{2}}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+b=-\frac{5}{2}}\\{a+1+b=0}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=-3；
（2）由（1）得：f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．