Question

18．已知BC為圓O的直徑，點(diǎn)A為圓周上一點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作BE垂直PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：
（1）PA•PD=PE•PC；
（2）AD=AE．

Answer 1

分析 （1）證明△APD∽△BPE，可得AP•PE=PD•PB，因?yàn)镻A，PB分別為圓O的切線與割線，所以PA²=PB•PC，兩式相除，即可證明PA•PD=PE•PC；
（2）連接AC，DE，證明A，D，B，E四點(diǎn)共圓且AB為直徑，即可得出AD=AE．

解答 證明：（1）因?yàn)锳D⊥BP，BE⊥AP，
所以△APD∽△BPE，
所以$\frac{AP}{BP}=\frac{PD}{PE}$，
所以AP•PE=PD•PB，
因?yàn)镻A，PB分別為圓O的切線與割線，
所以PA²=PB•PC，
所以$\frac{AP}{PE}$=$\frac{PC}{PD}$，
所以PA•PD=PE•PC；
（2）連接AC，DE，
因?yàn)锽C為圓O的直徑，
所以∠BAC=90°，
所以AB⊥AC．
因?yàn)?\frac{AP}{PE}$=$\frac{PC}{PD}$，
所以AC∥DE，
所以AB⊥DE，
因?yàn)锳D⊥BP，BE⊥AP，
所以A，D，B，E四點(diǎn)共圓且AB為直徑，
因?yàn)锳B⊥DE，
所以AD=AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查四點(diǎn)共圓，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．