Question

3．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow$，求△ABC的內(nèi)角A的度數(shù)．

Answer 1

分析 由數(shù)量積的運(yùn)算易得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的余弦值，進(jìn)而由向量的夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系可得．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61，
∴（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=4${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-3${\overrightarrow}^{2}$=61，
代入數(shù)據(jù)可得64-48cosθ-27=61，（其中θ為向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角）
解得cosθ=-$\frac{1}{2}$，
∵在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow$，
∴A=π-θ，∴cosA=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$

點(diǎn)評 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及向量的夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．