Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1nx-ax+1，（x≥a）}\\{{e}^{x-1}+（a-2）x，（x＜a）}\end{array}\right.$（a＞0）
（1）若a=1，證明：y=f（x）在R上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，討論f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可證明；
（2）利用數(shù)形結(jié)合法，分段討論，即可求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，且x≥1時(shí)，f（x）=lnx-x+1，
∴0恒成立，
∴f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=e^x-1-x，
∴f′（x）=e^x-1-1＜0恒成立，
∴f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，
綜上所述y=f（x）在R上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=lnx-ax+1=0，分別畫出y=lnx，與y=ax-1的圖象，如圖所示：
∵y=ax-1過定點(diǎn)（0，-1），
設(shè)直線y=ax-1與y=lnx的切點(diǎn)為（m，n），
∴k=f′（m）=$\frac{1}{m}$=$\frac{n+1}{m}$，f（m）=lnm=n
∴n=0，m=1，
由圖象可知，x≥a時(shí)，且當(dāng)a＞1時(shí)，圖象無交點(diǎn)，故f（x）無零點(diǎn)，
當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=e^x-1+（a-2）x，
分別畫出y=e^x-1，與y=（2-a）x的圖象，如圖所示：
∵y=（2-a）x過定點(diǎn)（0，0），
由圖象可知，當(dāng)a＞2時(shí)，圖象有一個(gè)交點(diǎn)，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)1＜a≤2時(shí)，圖象無交點(diǎn)，故f（x）無零點(diǎn)，
故x＜a時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)a＞2時(shí)，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)1＜a≤2時(shí)，故f（x）無零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性的判定，同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．