Question

4．若a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx，則（$\frac{x}{a}$+$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）⁴的展開式中常數(shù)項為$\frac{23}{2}$．

Answer 1

分析 求定積分可得a值，由二項式的知識可得．

解答 解：求定積分可得a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=sinx${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，
∴（$\frac{x}{a}$+$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）⁴=（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$）⁴，
故展開式中的常數(shù)項為${C}_{4}^{2}$•（$\frac{x}{2}$）²•（$\frac{1}{x}$）²+${C}_{4}^{2}$•$\frac{x}{2}$•$\frac{1}{x}$（$\sqrt{2}$）²+${C}_{4}^{4}$（$\sqrt{2}$）⁴=$\frac{3}{2}$+6+4=$\frac{23}{2}$
故答案為：$\frac{23}{2}$

點評 本題考查定積分的求解，涉及二項展開式，屬基礎(chǔ)題．