Question

5．已知f（x）=-x²+2x-2，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值為h（t），求h（t）．

Answer 1

分析 由于函數(shù)f（x）=-x²+2x-2的圖象的對(duì)稱軸方程為x=1，且x∈[t，t+1]，分類討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，求出f（x）的最小值．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=-x²+2x-2的圖象的對(duì)稱軸方程為x=1，x∈[t，t+1]，
當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+3x-5在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，
f（x）的最小值為h（t）=f（t+1）=-t²-1；
當(dāng)1∈[t，t+1]時(shí)，即0≤t≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，1]上單調(diào)遞增，
在區(qū)間[1，t+1]上單調(diào)遞減，
當(dāng)0≤t≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（t）≤f（t+1），可得f（x）的最小值為h（t）=f（t）=-t²+2t-2；
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜t≤1時(shí)，f（t）＞f（t+1），f（x）的最小值為h（t）=f（t+1）=-t²-1；
當(dāng)t+1＜1，即t＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=-x²+2x-2在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞增，
f（x）的最小值為h（t）=f（t）=-t²+2t-2．
綜上可得，h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+2t-2，t≤\frac{1}{2}}\\{-{t}^{2}-1，t＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．