Question

13．已知△ABC中，AC=8，cosA=$\frac{1}{2}$，S_△ABC=8$\sqrt{3}$
（1）求BC的值以及△ABC的外接圓的面積；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（cosCsinx-cosAcosx）+2，將函數(shù)f（x）的圖象向下平移兩個單位，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理，正弦定理進行求解即可．
（2）根據(jù)余弦定理求出cosC，然后化簡函數(shù)f（x），利用三角函數(shù)的圖象變換求出g（x），利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：（1）∵cosA=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=8$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$，
則AB=4，
則BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•ACcosA}$=$\sqrt{16+64-2×4×8×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$．
∵2R=$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8，
∴R=4，即△ABC的外接圓的面積S=π•R²=16π．
（2）cosC=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{64+48-16}{2•8•4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則f（x）=2（cosCsinx-cosAcosx）+2=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）+2=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+2，
將函數(shù)f（x）的圖象向下平移兩個單位，得到y(tǒng)=2sin（x-$\frac{π}{6}$）+2-2=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
然后再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，得到y(tǒng)=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
即g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用以及三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學生的運算能力．