Question

17．設(shè)拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F到直線3x+4y+1=0的距離為1．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：x-my+2=0，求直線l與拋物線C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的焦點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，解得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；
（Ⅱ）聯(lián)立方程組消x得關(guān)于y的方程，分m=0，m≠0兩種情況討論，使該方程有一解、兩解即可．

解答 解：（1）拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F（0，$\frac{p}{2}$），
點(diǎn)F到直線3x+4y+1=0的距離為1，即有$\frac{|2p+1|}{5}$=1，
解得p=2，
拋物線C的方程為x²=4y；
（Ⅱ）由直線l與拋物線C，消去x得m²y²-（4m+4）y+4=0，
（1）當(dāng)m=0時(shí)，-4y+4=0，解得y=1，此時(shí)交點(diǎn)為（-2，1），直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）當(dāng)m≠0時(shí)，由△=（4m+4）²-16m²=0，得m=-$\frac{1}{2}$，此時(shí)直線與拋物線相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；△＞0，m＞-$\frac{1}{2}$
綜上，m=0或-$\frac{1}{2}$時(shí)，直線l與拋物線C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，m＞-$\frac{1}{2}$且m≠0，兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程運(yùn)用韋達(dá)定理，屬于中檔題．