Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（α＞b＞0）的離心率是e，定義直線y=±$\frac{ab}{c}$心為橢圓的“類準(zhǔn)線”．已知橢圓C的“類準(zhǔn)線”方程為y=±2$\sqrt{3}$，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)p在橢圓C的“類準(zhǔn)線”上（但不在y軸上），過(guò)點(diǎn)P作圓O：x²+y²=3的切線l，過(guò)點(diǎn)O且垂直于0P的直線與l交于點(diǎn)A，問(wèn)點(diǎn)A是否在橢圓C上？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，b，c的方程，聯(lián)立方程組求得a²=4，b²=3，c²=1，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)P（${x}_{0}，2\sqrt{3}$）（x₀≠0），當(dāng)${x}_{0}=\sqrt{3}$和${x}_{0}=-\sqrt{3}$時(shí)，求出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程驗(yàn)證知，A在橢圓上，當(dāng)${x}_{0}≠±\sqrt{3}$時(shí)，求出過(guò)點(diǎn)O且垂直于0P的直線與橢圓的交點(diǎn)，寫出該交點(diǎn)與P點(diǎn)的連線所在直線方程，由原點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑說(shuō)明直線是圓的切線，從而說(shuō)明點(diǎn)A在橢圓C上．

解答 解：（1）由題意得：$\frac{ab}{c}=2\sqrt{3}$，2a=4，
又a²=b²+c²，聯(lián)立以上可得：a²=4，b²=3，c²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）如圖，由（1）可知，橢圓的類準(zhǔn)線方程為y=±$2\sqrt{3}$，
不妨取y=$2\sqrt{3}$，
設(shè)P（${x}_{0}，2\sqrt{3}$）（x₀≠0），
則${k}_{OP}=\frac{2\sqrt{3}}{{x}_{0}}$，
∴過(guò)原點(diǎn)且與OP垂直的直線方程為y=-$\frac{{x}_{0}}{2\sqrt{3}}x$，
當(dāng)${x}_{0}=\sqrt{3}$時(shí)，過(guò)P點(diǎn)的圓的切線方程為x=$\sqrt{3}$，
過(guò)原點(diǎn)且與OP垂直的直線方程為y=$-\frac{x}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=-\frac{x}{2}}\end{array}\right.$，解得：A（$\sqrt{3}$，$-\frac{\sqrt{3}}{2}$），
代入橢圓方程成立；
同理可得，當(dāng)${x}_{0}=-\sqrt{3}$時(shí)，點(diǎn)A在橢圓上；
當(dāng)${x}_{0}≠±\sqrt{3}$時(shí)，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{x}_{0}}{2\sqrt{3}}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得A₁（$\frac{6}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+9}}，-\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+9}}$），A₂（$-\frac{6}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+9}}，\frac{\sqrt{3}{x}_{0}}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+9}}$），
PA₁所在直線方程為$（2\sqrt{3}\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+9}+\sqrt{3}{x}_{0}）x-（{x}_{0}\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+9}-6）y$$-\sqrt{3}{{x}_{0}}^{2}-12\sqrt{3}=0$．
此時(shí)原點(diǎn)O到該直線的距離d=$\frac{|-\sqrt{3}{{x}_{0}}^{2}-12\sqrt{3}|}{\sqrt{（2\sqrt{3}\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+9}+\sqrt{3}{x}_{0}）^{2}+（{x}_{0}\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+9}-6）^{2}}}$=$\sqrt{3}$．
∴說(shuō)明A點(diǎn)在橢圓C上；
同理說(shuō)明另一種情況的A也在橢圓C上．
綜上可得，點(diǎn)A在橢圓C上．

點(diǎn)評(píng) 本題是新定義題，考查了橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬難題．