Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，AB=PA=$\sqrt{3}$，AD=2，PB=$\sqrt{6}$，E為PB中點(diǎn)，且AE⊥PC．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）線段BC上是否存在點(diǎn)M使得二面角P-MD-A的大小為60°？若存在，求出BM的長，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明PA⊥AB，推出AE⊥PB，AE⊥PC，證明AE⊥平面PBC，證明BC⊥平面PAB，推出BC⊥PA，然后證明PA⊥平面ABCD．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為$（{\sqrt{3}，b，0}）$，求出平面PMD法向量，平面AMD法向量，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）證明：由題意有PA²+AB²=3+3=6=PB²，所以PA⊥AB①，
因?yàn)锳B=AP，E為PB中點(diǎn)，所以AE⊥PB，又AE⊥PC，PB∩PC=C，
所以，AE⊥平面PBC，
又BC?平面PBC，所以AE⊥BC，又AB⊥BC，及AE∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB，
又PA?平面PAB，所以BC⊥PA②，
由①②及AB∩BC=B得PA⊥平面ABCD，得證．
（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則各點(diǎn)坐標(biāo)為$B（{\sqrt{3}，0，0}）$，D（0，2，0），$P（{0，0，\sqrt{3}}）$，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為$（{\sqrt{3}，b，0}）$，平面PMD法向量$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，

因?yàn)?\overrightarrow{PD}=（{0，2，-\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{DM}=（{\sqrt{3}，b-2，0}）$，
所以由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DP}\\ \overrightarrow n⊥\overrightarrow{DM}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}2y-\sqrt{3}z=0\\ \sqrt{3}x+（{b-2}）y=0\end{array}\right.$，
取$y=\sqrt{3}$，可得$\overrightarrow n=（{2-b，\sqrt{3}，2}）$，
又平面AMD法向量$\overrightarrow m=（{0，0，1}）$，
所以由$|{cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞}|=cos60°$，得：$\frac{2}{{\sqrt{{{（{2-b}）}^2}+3+4}}}=\frac{1}{2}$，
解得b=-1或b=5，
又因?yàn)辄c(diǎn)M在線段BC上，b∈[0，2]，而b=-1或b=5不滿足b∈[0，2]，
所以不存在點(diǎn)M使得二面角P-MD-A的大小為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法與應(yīng)用，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．