Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+1．
（1）若k=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）把k=1代入求出導(dǎo)函數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間，（2）先求出導(dǎo)函數(shù)，再通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的最值，解不等式求出即可．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-k，x＞0，
（1）k=1時(shí)，f′（x）=

1

x

-1，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（2）k≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，不合題意，
k＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

1

k

，
令f′（x）＜0，解得：x＞

1

k

，
∴f（x）在（0，

1

k

）遞增，在（

1

k

，+∞）遞減，
∴f（x）_max=f（

1

k

）=-lnk，
若f（x）≤0恒成立，
∴-lnk≤0，
解得：k≥1，
∴k的范圍是：（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．