Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為PA，BD中點(diǎn)，PA=PD=AD=2．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角E-DF-A的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）作AB的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，先利用面面平行的判定定理證明出平面EFH∥平面PBC，進(jìn)而根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明出EF∥平面PBC．
（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，連接EJ，做AD中點(diǎn)O，連接OP，先證明出∠EJI為二面角E-DF-A的平面角，進(jìn)而求得JI和EJ，最后在直角三角形中求得cos∠EJI．
（Ⅲ）先假設(shè)存在點(diǎn)G，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面EFD的一個(gè)法向量，僅而表示出

PC

和

CG

，根據(jù)向量共線的性質(zhì)建立等式對(duì)λ求解．

解答： （Ⅰ）作AB的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H，
∵在△PAB中，E，H為中點(diǎn)，
∴EH∥PB，
∵EH?平面PBC，PB?平面PBC，
∴EH∥平面PBC，
同理可證明FH∥平面PBC，
∵EH?平面EFH，F(xiàn)H?平面EFH，EH∩FH=H，
∴平面EFH∥平面PBC，
∵EF?平面EFH，
∴EF∥平面PBC．
（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，連接EJ，做AD中點(diǎn)O，連接OP，
∵PA=PD，
∴OP⊥AB，
∵EI⊥AB，
∴EI∥OP，
∵E為中點(diǎn)，
∴EI=

1

2

OP=

3

2

，AE=

1

4

AB=

1

2

，
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，
∴EI⊥底面ABCD，
∵IJ⊥DB，
∴EJ⊥DB，
∴∠EJI為二面角E-DF-A的平面角，
∵∠ADB=∠JIB，∠DJI=∠DAB=90°，
∴△DJI∽△ADB，
∴

DI

DB

=

JI

AB

，

3 2

2 2

=

JI

2

，
∴JI=

3

2 2

∴EJ=

JI2+EI2

=

9 8 + 3 4

=

15

2 2

，
∴cos∠EJI=

JI

EJ

=

3

2 2 15 2 2

=

15

5

．
即二面角E-DF-A的余弦值為

15

5

．
（Ⅲ）不存在．
假設(shè)存在，連接AC，則F在AC上，EF為平面EDF和平面PAC的交線，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OF，OP分別為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系．則A（1，0，0），
B（1，2，0），C（1，2，0），D（1，0，0），P（O，O，

3

），E（

1

2

，0，

3

2

），F(xiàn)（0，1，0），
設(shè)G（x₁，y₁，z₁），則

FG

=（x₁，y₁，z₁），
設(shè)平面EFD的一個(gè)法向量是n=（x₀，y₀，z₀），
∵

n• DF =0 n• DE =0

，∴

x0+y0=1 3 2 x0+ 3 2 y0=0

，
即

y0=x0 z0=- 3 x0

，令x₀=1，則n=（1，-1，-

3

），
∵因?yàn)镚F⊥面EDF，
∴

FG

=λn，
∴x₁=λ，y₁-1=-λ，z₁=-

3

λ，
∵

GC

，

PC

共線，

PC

=（-1，2，-

3

），

CG

=（x₁+1，y₁-2，z₁），
∴

x1+1

-1

=

y1-2

2

=

z1

- 3

，
∴

1+λ

-1

=

-λ-1

2

=

- 3 λ

- 3

，無解，
故在棱PC上不存在一點(diǎn)G，故在棱PC上不存在一點(diǎn)G，使GF⊥平面EDF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的計(jì)算，法向量的運(yùn)用．考查了學(xué)生分析和推理的能力．