Question

19．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-a，x＜1}\\{{x}^{2}-3ax+2{a}^{2}，x≥1}\end{array}\right.$恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 ①當(dāng)a≤0時，f（x）＞0恒成立，②當(dāng)a＞0時，由3^x-a=0討論，再由x²-3ax+2a²=（x-a）（x-2a）討論，從而確定方程的根的個數(shù)．

解答 解：①當(dāng)a≤0時，f（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）沒有零點；
②當(dāng)a＞0時，3^x-a=0，
解得，x=log₃a，又∵x＜1；
∴當(dāng)a∈（0，3）時，log₃a＜1，
故3^x-a=0有解x=log₃a；
當(dāng)a∈[3，+∞）時，log₃a≥1，
故3^x-a=0在（-∞，1）上無解；
∵x²-3ax+2a²=（x-a）（x-2a），
∴當(dāng)a∈（0，$\frac{1}{2}$）時，
方程x²-3ax+2a²=0在[1，+∞）上無解；
當(dāng)a∈[$\frac{1}{2}$，1）時，
方程x²-3ax+2a²=0在[1，+∞）上有且僅有一個解；
當(dāng)a∈[1，+∞）時，
方程x²-3ax+2a²=0在[1，+∞）上有且僅有兩個解；
綜上所述，
當(dāng)a∈[$\frac{1}{2}$，1）或a∈[3，+∞）時，
函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-a，x＜1}\\{{x}^{2}-3ax+2{a}^{2}，x≥1}\end{array}\right.$恰有2個零點，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1）∪[3，+∞）．

點評 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．