【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為 的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,PA=2 ,M,N分別為PB,PD的中點(diǎn).

(1)證明:MN∥平面ABCD;
(2)過點(diǎn)A作AQ⊥PC,垂足為點(diǎn)Q,求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值.

【答案】
(1)證明:連接BD.∵M(jìn),N分別為PB,PD的中點(diǎn),

∴在△PBD中,MN∥BD.

又MN平面ABCD,BD平面ABCD

∴MN∥平面ABCD


(2)方法一:連接AC交BD于O,以O(shè)為原點(diǎn),OC,OD所在直線為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在菱形ABCD中,∠BAD=120°

,得AC=AB= ,BD=

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC

在直角△PAC中, ,AQ⊥PC得QC=2,PQ=4,由此知各點(diǎn)坐標(biāo)如下

A(﹣ ,0,0),B(0,﹣3,0),C( ,0,0),D(0,3,0),P( ),M( ),N(

Q(

設(shè) =(x,y,z)為平面AMN的法向量,則

,取z=﹣1, ,

同理平面QMN的法向量為

=

∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值為

方法二:在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA= ,BD=

∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD,∴PB=PC=PD,∴△PBC≌△PDC

而M,N分別是PB,PD的中點(diǎn),∴MQ=NQ,且AM= PB= =AN

取MN的中點(diǎn)E,連接AE,EQ,則AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ為二面角A﹣MN﹣Q的平面角

,AM=AN=3,MN=3可得AE=

在直角△PAC中,AQ⊥PC得QC=2,PQ=4,AQ=2

在△PBC中,cos∠BPC= ,∴MQ=

在等腰△MQN中,MQ=NQ= .MN=3,∴QE=

在△AED中,AE= ,QE= ,AQ=2 ,∴cos∠AEQ=

∴所求二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值為


【解析】(1)連接BD,利用三角形的中位線的性質(zhì),證明MN∥BD,再利用線面平行的判定定理,可知MN∥平面ABCD;(2)方法一:連接AC交BD于O,以O(shè)為原點(diǎn),OC,OD所在直線為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面AMN的法向量 ,利用向量的夾角公式,即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值;
方法二:證明∠AEQ為二面角A﹣MN﹣Q的平面角,在△AED中,求得AE= ,QE= ,AQ=2 ,再利用余弦定理,即可求得二面角A﹣MN﹣Q的平面角的余弦值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿提供幫助的老年人的比例;

(Ⅱ)能否有99℅的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?

(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)論,能否提出更好的調(diào)查辦法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例?說明理由。

是否需要志愿者

性別

需要

40

30

不需要

160

270

參考數(shù)據(jù):

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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