Question

1．已知函數(shù)f（x）=（ax³+5x²-7x+7）e^x，其中a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a=-2代入f（x），求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（Ⅱ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥-$\frac{5x+3}{{x}^{2}+3x}$在[1，3]恒成立，通過求導(dǎo)得到函數(shù)的最大值，從而求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）a=-2時(shí)，f（x）=（-2x³+5x²-7x+7）e^x，
∴f′（x）=-e^xx（2x+3）（x-1），
當(dāng)x∈（-∞，-$\frac{3}{2}$）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x∈（-$\frac{3}{2}$，0）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
∴f（x）_極大值=f（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{29}{2}$${e}^{-\frac{3}{2}}$，f（x）_極大值=f（1）=3e，f（x）_極小值=f（0）=7；
（Ⅱ）∵f′（x）=（ax³+3ax²+5x²+3x）e^x，
若f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，
只需f′（x）≥0在[1，3]恒成立即可，
即a≥-$\frac{5x+3}{{x}^{2}+3x}$在[1，3]恒成立即可，
設(shè)h（x）=$\frac{5x+3}{{x}^{2}+3x}$，則h′（x）=$\frac{-{5x}^{2}-6x-9}{{{（x}^{2}+3x）}^{2}}$＜0，
∴函數(shù)h（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（3）=1，
∴a≥-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．