Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且對任意的實數(shù)a，b，當a+b≠0時，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0成立．
（1）判斷函數(shù)y=f（x）在R上的單調(diào)性并證明；
（2）若對任意t∈[-1，0]，不等式f（t²-2t-1）+f（2t²-k）≤0恒成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運用定義證明單調(diào)性，
（2）運用奇偶性，單調(diào)性轉(zhuǎn)化為t²-2t-1≥k-2t²對t∈[-1，0]恒成立分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解．

解答： 解：（1）函數(shù)y=f（x）在R上是減函數(shù)．
證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

•(x1-x2)
由已知得

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＜0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函數(shù)y=f（x）在R上是減函數(shù)．
（2）由（1）知y=f（x）在R上是減函數(shù)，且為奇函數(shù)，f（t²-2t-1）+f（2t²-k）≤0，
所以f（t²-2t-1）≤-f（2t²-k）=f（k-2t²）
即t²-2t-1≥k-2t²對t∈[-1，0]恒成立
轉(zhuǎn)化可得k≤3t²-2t-1對t∈[-1，0]恒成立
設(shè)g（t）=3t²-2t-1，t∈[-1，0]，
則k≤[g（t）]_min，又g（t）在t∈[-1，0]上是減函數(shù)
∴[g（t）]_min=g（0）=-1
∴k≤-1
∴k_max=-1．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，用性質(zhì)解決問題．