Question

2．（1）已知復(fù)數(shù)z=1+i，ω=$\frac{{z}^{2}-3z+6}{z+1}$（i為虛數(shù)單位），設(shè)復(fù)數(shù)ω在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為$\overrightarrow{OA}$，把坐標(biāo)為（0，$\sqrt{2}$）對(duì)應(yīng)的向量$\overrightarrow{OB}$按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ到向量$\overrightarrow{OA}$的位置，求θ的最小值；
（2）若（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+2$\sqrt{x}$）ⁿ的二項(xiàng)展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是1024，求系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡復(fù)數(shù)，求出A的坐標(biāo)，然后利用向量的位置關(guān)系推出θ的最小值．
（2）利用（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+2$\sqrt{x}$）ⁿ的二項(xiàng)展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是1024，求出n，然后求解系數(shù)最大的項(xiàng)．求出展開式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)，列出不等式組，求得r的范圍，可得自然數(shù)r的值，從而得到系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：（1）復(fù)數(shù)z=1+i，ω=$\frac{{z}^{2}-3z+6}{z+1}$=$\frac{（1+i）^{2}-3（1+i）+6}{2+i}$=$\frac{3-i}{2+i}$=$\frac{（3-i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}$=$\frac{5-5i}{5}$=1-i．
A（1，-1）．
復(fù)數(shù)ω在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為$\overrightarrow{OA}$=（1，-1），
把坐標(biāo)為（0，$\sqrt{2}$）對(duì)應(yīng)的向量$\overrightarrow{OB}$=（0，$\sqrt{2}$）按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ到向量$\overrightarrow{OA}$的位置，
θ的最小值：$π+\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$．
（2）（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+2$\sqrt{x}$）ⁿ的二項(xiàng)展開式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是1024，
可得2ⁿ=1024，解得n=10．
由于（$\frac{1}{\root{3}{x}}$+2$\sqrt{x}$）¹⁰的展開式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{10}^{r}$•2^10-r，
再根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{10-r}≥{C}_{10}^{r-1}•{2}^{11-r}}\\{{C}_{10}^{r}•{2}^{10-r}≥{C}_{10}^{r+1}•{2}^{9-r}}\end{array}\right.$，
求得$\frac{8}{3}$≤r≤$\frac{11}{3}$⇒r=3．
所以系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，T₄=${C}_{10}^{3}$•2⁷${x}^{\frac{5}{2}}$=15360${x}^{\frac{5}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，注意各項(xiàng)系數(shù)和與各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和的區(qū)別，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，同時(shí)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．