Question

14．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)f（x）=x³+（m+1）x²+mx（m為常數(shù)）．
（1）求f（x）在點(diǎn)M（-2，f（-2））處的切線方程；
（2）求過點(diǎn)P（-1，0）的曲線C的切線方程；
（3）證明：過點(diǎn)N（2，1）可以作曲線f（x）的三條切線；
（4）假設(shè)a＞0，如果過點(diǎn)（a，b）可以作曲線C的三條切線，證明-a＜b＜f（a）

Answer 1

分析 （1）利用減函數(shù)求出m，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求解切線方程．
（2）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線的斜率，然后求解切線方程．
（3）求出f′（x），根據(jù)切點(diǎn)為M（λ₀，f（λ₀））得到切線的斜率為f'（t），所以根據(jù)斜率和M點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程，如果切點(diǎn)是N（2，1），由解答判斷則存在t使1=2（3t²-1）x-2t³，于是過點(diǎn)N（2，1），可作曲線y=f（x）的三條切線即為方程2t³-6t²+3=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．記g（t）=2t³-6t²+3=0，求出其導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)t的值，利用t的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到g（t）的單調(diào)區(qū)間，利用g（t）的增減性得到g（t）的極值，根據(jù)極值分區(qū)間考慮方程g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，得到g（t）在R上中人有一個(gè)極大值3和一個(gè)極小值-5，即可得證．
（4）設(shè)切線過點(diǎn)（a，b），則存在t使b=（3t²-1）a-2t³，于是過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線即為方程2t³-3at²+a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．記g（t）=2t³-3at²+a+b，求出其導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)t的值，利用t的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到g（t）的單調(diào)區(qū)間，利用g（t）的增減性得到g（t）的極值，根據(jù)極值分區(qū)間考慮方程g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，得到極大值大于0，極小值小于0列出不等式，求出解集即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)f（x）=x³+（m+1）x²+mx，可得f（-x）=-f（-x），
可得m+1=0，解得m=-1．
函數(shù)為：f（x）=x³-x．切點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2，-6）．
f′（x）=3x²-1．f′（-2）=3（-2）²-1=11，
f（x）在點(diǎn)M（-2，f（-2））處的切線方程為：y+6=11（x+2），
即11x-y+16=0．
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：（a，f（a）），f（a）=a³-a，
過點(diǎn)P（-1，0）的曲線C的切線的斜率為：$\frac{{a}^{3}-a}{a+1}$，
由（1）可知，f′（a）=3a²-1，
可得$\frac{{a}^{3}-a}{a+1}$=3a²-1，解得a=-1，a=$\frac{1}{2}$．
切點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，0）或（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{8}$），
切線的斜率分別為：2，或$-\frac{1}{4}$．
過點(diǎn)P（-1，0）的曲線C的切線方程：y=2（x+1）或y=$-\frac{1}{4}$（x+1）．
即：2x-y+2=0，或x+4y+1=0．
（3）證明：函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)；f'（x）=3x²-1．
曲線y=f（x）在點(diǎn)M（λ₀，f（λ₀））處的切線方程為：y-f（λ₀）=f'（λ₀）（x-λ₀），即y=（3λ₀²-1）x-2λ₀³；
如果切點(diǎn)是N（2，1），由上述解答可知，則存在t，使1=2（3t²-1）x-2t³．
于是方程2t³-6t²+3=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
記g（t）=2t³-6t²+3，則g′（t）=6t²-12t=6t（t-2）．
當(dāng)t變化時(shí)，g（t），g′（t）變化情況如下表：t＜0或t＞2，g′（t）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，t∈（0，2）h函數(shù)是減函數(shù)，由于g（t）在R上中有一個(gè)極大值3和一個(gè)極小值-5，故過點(diǎn)N（2，1）可以作曲線，f（x）=x³-x的三條切線．滿足題意．
（4）證明：如果有一條切線過點(diǎn)（a，b），則存在t，使b=（3t²-1）a-2t³．
于是，若過點(diǎn)（a，b）可作曲線y=f（x）的三條切線，
則方程2t³-3at²+a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
記g（t）=2t³-3at²+a+b，則g'（t）=6t²-6at=6t（t-a）．
當(dāng)t變化時(shí)，g（t），g'（t）變化情況如下表：

t	（-∞，0）	0	（0，a）	a	（a，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	增	極大值a+b	減	極小值b-f（a）	增

由g（t）的單調(diào)性，當(dāng)極大值a+b＜0或極小值b-f（a）＞0時(shí)，
方程g（t）=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)a+b=0時(shí)，解方程g（t）=0得t=0，t=$\frac{3a}{2}$，
即方程g（t）=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)b-f（a）=0時(shí)，解方程g（t）=0得t=-$\frac{1}{2}$a，
即方程g（t）=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根．
綜上，如果過（a，b）可作曲線y=f（x）三條切線，
即g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則$\left\{\begin{array}{l}a+b＞0\\ b-f（a）＜0\end{array}\right.$，
即-a＜b＜f（a）．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；注意“在點(diǎn)處的切線”與“過點(diǎn)的切線”的區(qū)別，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值．