14.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)f(x)=x3+(m+1)x2+mx(m為常數(shù)).
(1)求f(x)在點(diǎn)M(-2,f(-2))處的切線方程;
(2)求過點(diǎn)P(-1,0)的曲線C的切線方程;
(3)證明:過點(diǎn)N(2,1)可以作曲線f(x)的三條切線;
(4)假設(shè)a>0,如果過點(diǎn)(a,b)可以作曲線C的三條切線,證明-a<b<f(a)

分析 (1)利用減函數(shù)求出m,求出切點(diǎn)坐標(biāo),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出切線的斜率,然后求解切線方程.
(2)求出切點(diǎn)坐標(biāo),求出切線的斜率,然后求解切線方程.
(3)求出f′(x),根據(jù)切點(diǎn)為M(λ0,f(λ0))得到切線的斜率為f'(t),所以根據(jù)斜率和M點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程,如果切點(diǎn)是N(2,1),由解答判斷則存在t使1=2(3t2-1)x-2t3,于是過點(diǎn)N(2,1),可作曲線y=f(x)的三條切線即為方程2t3-6t2+3=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.記g(t)=2t3-6t2+3=0,求出其導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)t的值,利用t的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到g(t)的單調(diào)區(qū)間,利用g(t)的增減性得到g(t)的極值,根據(jù)極值分區(qū)間考慮方程g(t)=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,得到g(t)在R上中人有一個(gè)極大值3和一個(gè)極小值-5,即可得證.
(4)設(shè)切線過點(diǎn)(a,b),則存在t使b=(3t2-1)a-2t3,于是過點(diǎn)(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線即為方程2t3-3at2+a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.記g(t)=2t3-3at2+a+b,求出其導(dǎo)函數(shù)=0時(shí)t的值,利用t的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到g(t)的單調(diào)區(qū)間,利用g(t)的增減性得到g(t)的極值,根據(jù)極值分區(qū)間考慮方程g(t)=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,得到極大值大于0,極小值小于0列出不等式,求出解集即可得證.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)f(x)=x3+(m+1)x2+mx,可得f(-x)=-f(-x),
可得m+1=0,解得m=-1.
函數(shù)為:f(x)=x3-x.切點(diǎn)坐標(biāo)為:(-2,-6).
f′(x)=3x2-1.f′(-2)=3(-2)2-1=11,
f(x)在點(diǎn)M(-2,f(-2))處的切線方程為:y+6=11(x+2),
即11x-y+16=0.
(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為:(a,f(a)),f(a)=a3-a,
過點(diǎn)P(-1,0)的曲線C的切線的斜率為:$\frac{{a}^{3}-a}{a+1}$,
由(1)可知,f′(a)=3a2-1,
可得$\frac{{a}^{3}-a}{a+1}$=3a2-1,解得a=-1,a=$\frac{1}{2}$.
切點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,0)或($\frac{1}{2}$,-$\frac{3}{8}$),
切線的斜率分別為:2,或$-\frac{1}{4}$.
過點(diǎn)P(-1,0)的曲線C的切線方程:y=2(x+1)或y=$-\frac{1}{4}$(x+1).
即:2x-y+2=0,或x+4y+1=0.
(3)證明:函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù);f'(x)=3x2-1.
曲線y=f(x)在點(diǎn)M(λ0,f(λ0))處的切線方程為:y-f(λ0)=f'(λ0)(x-λ0),即y=(3λ02-1)x-2λ03;
如果切點(diǎn)是N(2,1),由上述解答可知,則存在t,使1=2(3t2-1)x-2t3
于是方程2t3-6t2+3=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.
記g(t)=2t3-6t2+3,則g′(t)=6t2-12t=6t(t-2).
當(dāng)t變化時(shí),g(t),g′(t)變化情況如下表:t<0或t>2,g′(t)>0,函數(shù)是增函數(shù),t∈(0,2)h函數(shù)是減函數(shù),由于g(t)在R上中有一個(gè)極大值3和一個(gè)極小值-5,故過點(diǎn)N(2,1)可以作曲線,f(x)=x3-x的三條切線.滿足題意.
(4)證明:如果有一條切線過點(diǎn)(a,b),則存在t,使b=(3t2-1)a-2t3
于是,若過點(diǎn)(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線,
則方程2t3-3at2+a+b=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.
記g(t)=2t3-3at2+a+b,則g'(t)=6t2-6at=6t(t-a).
當(dāng)t變化時(shí),g(t),g'(t)變化情況如下表:

t(-∞,0)0(0,a)a(a,+∞)
g′(t)+0-0+
g(t) 增極大值a+b 減極小值b-f(a) 增
由g(t)的單調(diào)性,當(dāng)極大值a+b<0或極小值b-f(a)>0時(shí),
方程g(t)=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根;
當(dāng)a+b=0時(shí),解方程g(t)=0得t=0,t=$\frac{3a}{2}$,
即方程g(t)=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根;
當(dāng)b-f(a)=0時(shí),解方程g(t)=0得t=-$\frac{1}{2}$a,
即方程g(t)=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根.
綜上,如果過(a,b)可作曲線y=f(x)三條切線,
即g(t)=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則$\left\{\begin{array}{l}a+b>0\\ b-f(a)<0\end{array}\right.$,
即-a<b<f(a).

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值.本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率;注意“在點(diǎn)處的切線”與“過點(diǎn)的切線”的區(qū)別,會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.不等式$\frac{2-3x}{x-1}>0$的解集為( 。
A.$(-∞,\frac{3}{4})$B.$(-∞,\frac{2}{3})$C.$(-∞,\frac{2}{3})∪(1,+∞)$D.$(\frac{2}{3},1)$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

5.若函數(shù)$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;2{\;^x}-a\;,\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≤1\;,\;\;\\({x-a})({x-3a})\;,\;\;\;\;x>1\end{array}\right.$恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$({\frac{1}{3},\;\;1}]∪({2,\;\;+∞})$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.要使$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ=$\frac{m-6}{2-m}$有意義,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.(4,+∞)B.[4,+∞)C.[8,+∞)D.(8,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.某幾何體的三視圖如圖所示,求該幾何體的表面積、體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x2,當(dāng)x>0時(shí),f(x+1)=f(x)+f(1),若直線y=kx與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有11個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為($2\sqrt{6}-4$,$4\sqrt{3}-6$).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.已知向量$\overrightarrow a=(x,y)$,若實(shí)數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-y+5≥0\\ x+y≥0\\ x≤3\end{array}\right.$,則$|{\overrightarrow a}|$的最大值是(  )
A.$\sqrt{73}$B.$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$C.$\sqrt{43}$D.$3\sqrt{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.已知函數(shù)f(x)=ln2x-2aln(ex)+3,x∈[e-1,e2]
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;
(2)若f(x)≤-alnx+4恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.三個(gè)函數(shù):y=cosx,y=sinx,y=tanx,從中隨機(jī)抽取一個(gè)函數(shù),則抽出的函數(shù)是奇函數(shù)的概率為( 。
A.$\frac{1}{3}$B.0C.$\frac{2}{3}$D.1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案