Question

3．已知函數(shù)f（x）=ln²x-2aln（ex）+3，x∈[e^-1，e²]
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）≤-alnx+4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得y=f（x）=ln²x-2lnx+1，令t=lnx∈[-1，2]，y=t²-2t+1=（t-1）²，運用二次函數(shù)的值域求法，即可得到所求值域；
（2）由題意可得ln²x-alnx-2a-1≤0恒成立，令t=lnx∈[-1，2]，t²-at-2a-1≤0恒成立，設(shè)y=t²-at-2a-1，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得最大值，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，y=f（x）=ln²x-2lnx+1，
令t=lnx∈[-1，2]，
∴y=t²-2t+1=（t-1）²，
當(dāng)t=1時，取得最小值0；t=-1時，取得最大值4．
∴f（x）的值域為[0，4]；
（2）∵f（x）≤-alnx+4，
∴l(xiāng)n²x-alnx-2a-1≤0恒成立，
令t=lnx∈[-1，2]，
∴t²-at-2a-1≤0恒成立，
設(shè)y=t²-at-2a-1，
∴當(dāng)$\frac{a}{2}≤\frac{1}{2}即a≤1$時，y_max=-4a+3≤0，
∴$\frac{3}{4}≤a≤1$，
當(dāng)$\frac{a}{2}＞\frac{1}{2}即a＞1$時，y_max=-a≤0，
∴a＞1，
綜上所述，$a≥\frac{3}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的值域的求法，注意運用換元法，及二次函數(shù)的值域求法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．