Question

5．若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\;2{\;^x}-a\;，\;\;\;\;\;\;\;\;\;x≤1\;，\;\;\\（{x-a}）（{x-3a}）\;，\;\;\;\;x＞1\end{array}\right.$恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（{\frac{1}{3}，\;\;1}]∪（{2，\;\;+∞}）$．

Answer 1

分析 ①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）＞0恒成立，②當(dāng)a＞0時(shí)，由2^x-a=0討論，再由f（x）=（x-a）（x-2a）討論，從而確定方程的根的個(gè)數(shù)．

解答 解：①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，2^x-a=0，
解得，x=log₂a，又∵x＜1；
∴當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，log₂a＜1，
故2^x-a=0有解x=log₂a；
當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，log₂a≥1，
故2^x-a=0在（-∞，1）上無解；
∵（x-a）（x-3a），
∴當(dāng)a∈（0，$\frac{1}{3}$]時(shí)，
方程（x-a）（x-3a）=0在（1，+∞）上無解；
當(dāng)a∈（$\frac{1}{3}$，1]時(shí)，
方程（x-a）（x-3a）=0在（1，+∞）上有且僅有一個(gè)解；
當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)，
方程（x-a）（x-3a）=0在（1，+∞）上有且僅有兩個(gè)解；
綜上所述，當(dāng)a∈（$\frac{1}{3}$，1]或a∈（2，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，
故答案為：$（{\frac{1}{3}，\;\;1}]∪（{2，\;\;+∞}）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．