Question

3．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=1，BC=3，AD=CD=2，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=$-\frac{13}{7}$．

Answer 1

分析 如圖所示，連接AC，BD，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E．在△ABC與△ACD中，分別利用余弦定理可得：cos∠ABC=$\frac{1}{7}$，sin∠ABC．cos∠BCD=-$\frac{1}{2}$，sin∠ABC．可得cosE=-cos（∠ABC+∠BCD）．可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CD}$．

解答 解：如圖所示，
連接AC，BD，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E．
在△ABC與△ACD中，分別利用余弦定理可得：
AC²=1²+3²-2×1×3cos∠ABC=2²+2²-2×2×2cos（π-∠ABC），
化為cos∠ABC=$\frac{1}{7}$，∴sin∠ABC=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
同理可得：cos∠BCD=-$\frac{1}{2}$，∴sin∠BCD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴cosE=cos（π-∠ABC-∠BCD）=-cos（∠ABC+∠BCD）=$-（-\frac{1}{2}×\frac{1}{7}-\frac{4\sqrt{3}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{13}{14}$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=-$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CD}$=-1×2×cosE=-$2×\frac{13}{14}$=-$\frac{13}{7}$．
故答案為：-$\frac{13}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、余弦定理、和差公式、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．