Question

1．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=3，S₅=25．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在k∈N^*，使得等式2-2T_k=$\frac{1}{3^k}$成立，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得首項(xiàng)和公差的方程組，解方程組代入通項(xiàng)公式公式計(jì)算可得．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=25}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=2}\end{array}\right.$，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）得$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
所以數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．…（8分）
因?yàn)?2-2{T_k}=2-\frac{2k}{2k+1}=1+\frac{1}{2k+1}$，而$\left\{{\frac{1}{2k+1}}\right\}$單調(diào)遞減，
所以$1＜2-2{T_k}=1+\frac{1}{2k+1}≤\frac{4}{3}$，…（10分）
又$\frac{1}{3^k}∈（{0，\frac{1}{3}}]$，
所以不存在k∈N^*，使得等式$2-2{T_k}=\frac{1}{3^k}$成立．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．