Question

8．過(guò)定點(diǎn)A（1，1）作直線l與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1交于P、Q兩點(diǎn)，若A（1，1）是線段段PQ的中點(diǎn)，這樣的直線存在嗎？

Answer 1

分析 先假設(shè)存在這樣的直線l，分類(lèi)討論：斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線l的方程，①當(dāng)k存在時(shí)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，通過(guò)△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，可求k的范圍，再由A是線段PQ的中點(diǎn)，則 $\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，可求k，看是否矛盾，②當(dāng)k不存在時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在，綜合可求．

解答 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)B（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1（當(dāng)k存在時(shí)）或x=1（當(dāng)k不存在時(shí)）．
①當(dāng)k存在時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+1}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，
∴k＜$\frac{3}{2}$
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=$\frac{2（k-{k}^{2}）}{2-{k}^{2}}$，又A（1，1）為線段PQ的中點(diǎn)
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1，即$\frac{2（k-{k}^{2}）}{2-{k}^{2}}$=1
∴k=2
當(dāng)k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當(dāng)k=2時(shí)，方程（1）無(wú)實(shí)數(shù)解
故過(guò)點(diǎn)A（1，1）與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q且B為線段PQ中點(diǎn)的直線不存在．
②當(dāng)k不存在時(shí)，即當(dāng)x=1時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了直線與雙曲線的位置關(guān)系，特別是相交時(shí)的中點(diǎn)弦問(wèn)題，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，及利用方程思想判斷直線與曲線位置關(guān)系．