Question

16．已知△ABC的三邊長(zhǎng)AC=6，BC=8，AB=10，P為AB邊上任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$）的最大值為（　�。�

• A． 0
• B． 36
• C． 48
• D． 60

Answer 1

分析 根據(jù)條件容易判斷出△ABC為Rt△，且∠ACB=90°，可過P作AC的垂線PD，垂足為D，從而可畫出圖形，而$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$，從而可得出$\overrightarrow{CP}•（\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}）=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CD}|$，顯然當(dāng)D和A重合時(shí)$\overrightarrow{CP}•（\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}）$取最大值，并可求出該最大值．

解答 解：∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC²+BC²=AB²，即△ABC為直角三角形，∠ACB=90°；
如圖所示，過P作PD⊥AC，垂足為D，則：
$\overrightarrow{CP}•（\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}）$=$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$
=$|\overrightarrow{CP}||\overrightarrow{CA}|cos∠ACP$
=$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CP}|cos∠ACP$
=$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{CD}|$；
∴P和A重合時(shí)，D與A重合，此時(shí)$|\overrightarrow{CD}|$取最大值$|\overrightarrow{CA}|$；
∴$\overrightarrow{CP}•（\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}）$的最大值為$|\overrightarrow{CA}{|}^{2}=36$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查直角三角形邊的關(guān)系，以及向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，三角函數(shù)的定義，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．