Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（

3

cosx，2cosx）．
（1）若x≠kπ+

π

2

，k∈Z，且

a

∥

b

，求2sin²x-cos²x的值；
（2）定義函數(shù)f（x）=

a

•

b

-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；并求當x∈[0，

π

2

]時，函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應用

分析：（1）根據(jù)向量平行可得4sinxcosx-

3

cos²x=0，由x≠kπ+

π

2

，k∈Z，即cosx≠0，可求tanx的值，從而可求2sin²x-cos²x的值．
（2）先求出函數(shù)解析式f（x）=2sin（2x+

π

6

），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；并求當x∈[0，

π

2

]時，函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）因為

a

∥

b

，所以4sinxcosx-

3

cos²x=0，…（2分）
因為x≠kπ+

π

2

，k∈Z，所以cosx≠0，即tanx=

3

4

，
所以2sin²x-cos²x=

2tan2x-1

tan2x+1

=-

10

19

．…（5分）
（2）f（x）=

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），…（8分）
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

]，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．…（11分）
因為x∈[0，

π

2

]，所以2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
所以當x∈[0，

π

2

]時，函數(shù)f（x）的值域[-1，2]．   …（15分）

點評：本題主要考察了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．