在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問(wèn)題．
（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P為圓O：x2+y2=r2外一點(diǎn)，過(guò)P引圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，若
PA
•
PB
=0，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若動(dòng)點(diǎn)Q為橢圓M：
x2
9
+
y2
4
=1外一點(diǎn)，過(guò)Q引橢圓M的兩條切線QC、QD，C、D為切點(diǎn)，若
QC
•
QD
=0，求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）在（2）問(wèn)中若橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其余條件都不變，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無(wú)需過(guò)程）．
考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理,類比推理
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由切線的性質(zhì)及
PA
•
PB
=0可知，四邊形OAPB為正方形，所以點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，|OP|長(zhǎng)為半徑的圓上，進(jìn)而可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)兩切線為l1，l2，分當(dāng)l1與x軸不垂直且不平行時(shí)，和當(dāng)l1與x軸垂直或平行時(shí)兩種情況，結(jié)合
QC
•
QD
=0，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）類比（2）的求解過(guò)程，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．
解答： 解：（1）由切線的性質(zhì)及
PA
•
PB
=0可知，四邊形OAPB為正方形，
所以點(diǎn)P在以O(shè)為圓心，|OP|長(zhǎng)為半徑的圓上，且|OP|=
2
|OA|=
2
r，
進(jìn)而動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2r2…（3分）
（2）設(shè)兩切線為l1，l2，
①當(dāng)l1與x軸不垂直且不平行時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（x0，y0）則x0≠±3，
設(shè)l1的斜率為k，則k≠0，l2的斜率為-
1
k
，
l1的方程為y-y0=k（x-x0），聯(lián)立
x2
9
+
y2
4
=1，
得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-36=0，…（5分）
因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以△=0，得182k2(y0-kx0)2-4(4+9k2)•9[(y0-kx0)2-4]=0，
化簡(jiǎn)，9k2(y0-kx0)2-(4+9k2)(y0-kx0)2+(4+9k2)4=0，
進(jìn)而  (y0-kx0)2-(4+9k2)=0，
所以(
x
2
0
-9)k2-2x0y0k+
y
2
0
-4=0…（7分）
所以k是方程(
x
2
0
-9)k2-2x0y0k+
y
2
0
-4=0的一個(gè)根，
同理-
1
k
是方程(
x
2
0
-9)k2-2x0y0k+
y
2
0
-4=0的另一個(gè)根，
∴k•（-
1
k
）=
y
2
0
-4
x
2
0
-9
，得
x
2
0
+
y
2
0
=13，其中x0≠±3，…（9分）
②當(dāng)l1與x軸垂直或平行時(shí)，l2與x軸平行或垂直，
可知：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（±3，±2），
∵P點(diǎn)坐標(biāo)也滿足
x
2
0
+
y
2
0
=13，
綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為：
x
2
0
+
y
2
0
=13．…（10分）
（3）動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是
x
2
0
+
y
2
0
=a2+b2…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是軌跡方程，類比推理，向量數(shù)量積運(yùn)算，直線與圓錐曲線的關(guān)系，難度中檔．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=（2sinx，cosx），
b
=（
3
cosx，2cosx）．
（1）若x≠kπ+
π
2
，k∈Z，且
a
∥
b
，求2sin2x-cos2x的值；
（2）定義函數(shù)f（x）=
a
•
b
-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；并求當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一幾何體的三視圖如右圖所示，若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為1，則該幾何體外接球的表面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線y2=4x，傾斜角為45°的直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2lnx-
1
2
ax2-3x，其中a為常數(shù)．
（1）若當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極值，求a的值，并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）+xf′（x）=-3x2+ax+1，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)a∈（0，1]時(shí)，g（x）有最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)a為大于1的常數(shù)，函數(shù)f（x）=
logax，x＞0
ax，x≤0
，若關(guān)于x的方程f2（x）-bf（x）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用min{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最小值，函數(shù)f（x）=min{|2x|，|2x+t|}的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，若方程f（x）=m恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�
A、（0，1]
B、（0，1）
C、（0，2]
D、（0，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1、F2為雙曲線的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)．PF2的平方比PF1的最小值為8a則離心率的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積．

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同步練習(xí)冊(cè)答案