Question

1．已知在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$中，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是左右焦點(diǎn)，A₁，A₂，B₁，B₂分別為雙曲線的實(shí)軸與虛軸端點(diǎn)，若以A₁A₂為直徑的圓總在菱形F₁B₁F₂B₂的內(nèi)部，則此雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $（1，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}）$
• B． [$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• C． $（1，\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}）$
• D． $（\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 求出圓的半徑，若以A₁A₂為直徑的圓總在菱形F₁B₁F₂B₂的內(nèi)部，等價(jià)為圓心O到直線B₁F₂的距離d≥a，解不等式即可．

解答 解：雙曲線F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b），
則圓的半徑為a，
若以A₁A₂為直徑的圓總在菱形F₁B₁F₂B₂的內(nèi)部，
則圓心O到直線B₁F₂的距離d≥a，
直線B₁F₂的方程：$\frac{x}{c}$+$\frac{y}$=1，即bx+cy-bc=0，
則d=$\frac{|bc|}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}≥a$，
即b²c²≥a²（b²+c²），
即（c²-a²）c²≥a²（2c²-a²），
即c⁴-3a²c²+a⁴≥0，
即e⁴-3e²+1≥0，
即e²≥$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或e²≤$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍），
即e²≥$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$=（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²，
則e≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為圓心O到直線B₁F₂的距離d≥c是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．