Question

11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足（x+2）²+（y-1）²=1．
（1）求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值和最小值；
（3）x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{y}{x}$的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，求出直線y=kx與圓相切時，k的值，即可確定斜率k取最大值或最小值；
（2）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值．
（3）由圓的參數(shù)方程得∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，由此利用三角函數(shù)的性質(zhì)能求出x²+y²的最大值和最小值．

解答 解：（1）原方程表示以（-2，1）為圓心，1為半徑的圓，$\frac{y}{x}$的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
所以設(shè)$\frac{y}{x}$=k，即y=kx
當(dāng)直線y=kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時$\frac{|-2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴k=0或k=-$\frac{4}{3}$
所以$\frac{y}{x}$的最大值為0，最小值為-$-\frac{4}{3}$．
（2）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，
此時$\frac{|-2-1+b|}{\sqrt{2}}$=1，解得b=3$±\sqrt{2}$，所以y-x的最大值為$3+\sqrt{2}$，最小值為$3-\sqrt{2}$．
（3）解：∵實(shí)數(shù)x，y滿足（x+2）²+（y-1）²=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，
∴x²+y²=（-2+cosθ）²+（1+sinθ）²
=-4cosθ+2sinθ+6
=2$\sqrt{5}$cos（θ+φ）+6，其中tanφ=-2．
∴當(dāng)cos（θ+φ）=1時，x²+y²取最大值6+2$\sqrt{5}$，當(dāng)cos（θ+φ）=-1時，x²+y²取最小值6-2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程的應(yīng)用，點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．