Question

10．平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，$\overrightarrow{a}$=（0，3），|$\overrightarrow$|=2，若λ∈R，則|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，代入∴|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}=\sqrt{{λ}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，轉(zhuǎn)化為關于λ的二次函數(shù)，再運用二次函數(shù)最值的求法求得|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（0，3），∴$|\overrightarrow{a}|=3$，
又$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，且$|\overrightarrow|=2$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos60°=3×2×\frac{1}{2}=3$，
∴|λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{（λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}=\sqrt{{λ}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$
=$\sqrt{9{λ}^{2}-6λ+4}$．
∴當$λ=\frac{1}{3}$時，$|λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$有最小值為$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了二次函數(shù)最值的求法，是中檔題．