Question

18．已知點P，Q是拋物線y²=4x上兩點，且$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0（點O為坐標原點），則直線PQ過定點（4，0）．

Answer 1

分析 設出P，Q的坐標，討論當直線斜率存在時，聯立直線方程與拋物線方程，利用消元法得到關于x的一元二次方程，由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，建立關于參數k，b的關系，消去b可得直線恒過（4，0）；當直線斜率不存在時，由對稱性直接得到OP所在直線方程，與拋物線方程聯立求得P的坐標，說明PQ過定點（4，0）．

解答 解：設點P，Q的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
當過P、Q的直線l存在斜率時，設直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．
聯立方程得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得k²x²+（2kb-4）x+b²=0．
則x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
則y₁y₂=4•$\frac{k}$，
又$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即$\frac{^{2}}{{k}^{2}}+\frac{4b}{k}=0$，
解得b=0（舍去）或b=-4k，
故直線l的方程為：y=kx-k=k（x-4），故直線過定點（4，0）；
當過P、Q的直線l的斜率不存在時，由題意可得，OP所在直線方程為y=x，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得P（4，4），由此可知直線PQ過點（4，0）．
綜上可知，直線PQ過定點（4，0）．
故答案為：（4，0）．

點評 本題考查向量垂直的條件，同時考查直線與拋物線的位置關系，以及證明直線恒過定點，屬于中檔題．