Question

3．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最下正周期為π，且點(diǎn)P（$\frac{π}{6}$，2）是該函數(shù)圖象的一個人最高點(diǎn)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（3）把函數(shù)y=f（x）的圖線向右平移θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）個單位，得到函數(shù)y=g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是單調(diào)增函數(shù)，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由x的范圍可求2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其值域．
（3）利用三角函數(shù)平移變換規(guī)律可求g（x）=2sin（2x-2θ+$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，進(jìn)而可得$\left\{\begin{array}{l}{kπ+θ-\frac{π}{3}≤0}\\{kπ+θ+\frac{π}{6}≥\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，k∈Z，結(jié)合范圍0＜θ＜$\frac{π}{2}$，可求θ的取值范圍．

解答 解：（1）∵由題意可得，A=2，$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2．
∵再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M（$\frac{π}{6}$，2），可得2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得ω=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$]，可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，1]．
（3）把函數(shù)y=f（x）的圖線向右平移θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）個單位，
得到函數(shù)y=g（x）=2sin[2（x-θ）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-2θ+$\frac{π}{6}$），
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-2θ+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+θ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+θ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ+θ-$\frac{π}{3}$，kπ+θ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z，
∵函數(shù)y=g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{kπ+θ-\frac{π}{3}≤0}\\{kπ+θ+\frac{π}{6}≥\frac{π}{4}}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{θ≤\frac{π}{3}-kπ}\\{θ≥\frac{π}{12}-kπ}\end{array}\right.$，k∈Z，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)k=0時，θ∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，考查計算能力，�？碱}型，題目新穎，屬于基本知識的考查．