11.如圖,△ABC中,AC=2,BC=4,∠ACB=90°,D、E分別是AC、AB的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起成△PDE,使面PDE⊥面BCDE,H、F分別是邊PD和BE的中點(diǎn),平面BCH與PE、PF分別交于點(diǎn)I、G.
(Ⅰ)求證:IH∥BC;
(Ⅱ)求二面角P-GI-C的余弦值.

分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出DE∥BC,從而B(niǎo)C?平面BCH,由此能證明IH∥BC.
(Ⅱ)以D為原點(diǎn),DE,DC,DP為x,y,z軸,建立空間右手直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角P-GI-C的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)∵D,E分別是邊AC和AB的中點(diǎn),∴DE∥BC,
∵BC?平面PED,ED?平面PED,
∴BC?平面BCH,
∴IH∥BC.
解:(Ⅱ)如圖,建立空間右手直角坐標(biāo)系,由題意得:
D(0,0,0),E(2,0,0),P(0,0,1),F(xiàn)(3,$\frac{1}{2}$,0),C(0,1,0),H(0,0,$\frac{1}{2}$),
∴$\overrightarrow{EP}$=(-2,0,1),$\overrightarrow{EF}$=(1,$\frac{1}{2}$,0),$\overrightarrow{CH}$=(0,-1,$\frac{1}{2}$),$\overrightarrow{HI}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}$=(1,0,0),
設(shè)平面PGI的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{n}=-2x+z=0}\\{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$,令x=1,解得y=-2,z=2,∴$\overrightarrow{n}$=(1,-2,2),
設(shè)平面CHI的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{CH}•\overrightarrow{m}=-b+\frac{1}{2}c=0}\\{\overrightarrow{HI}•\overrightarrow{m}=a=0}\end{array}\right.$,取b=1,得$\overrightarrow{m}$=(0,1,2),
設(shè)二面角P-GI-C的平面角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2+4|}{3×\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$.
∴二面角P-GI-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{15}}{15}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)線(xiàn)平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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