Question

20．已知f（x）是定義在R上的偶函數，當x≤0時，f（x）=log₂（-x+1）．
（1）求函數f（x）在定義域R上的解析式；
（2）解關于x的不等式f（2x-1）＞1．

Answer 1

分析 （1）設x＞0，則-x＜0，根據條件以及函數的奇偶性求得f（x）的解析式，可得結論．
（2）由題意可得 f（x）在在（-∞，0）上單調遞減，且f（-1）=1，由不等式f（2x-1）＞1，可得 2x-1＞1，或2x-1＜-1，由此求得x的范圍．

解答 解：（1）設x＞0，則-x＜0，
∵當x≤0時，f（x）=log₂（-x+1），
∴f（-x）=log₂（x+1），
∵f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（-x）=log₂（x+1）=f（x），
即f（x）=log₂（x+1）．
綜上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}（x+1），x＞0}\\{{log}_{2}（-x+1），x≤0}\end{array}\right.$；
（2）∵f（x）是定義在R上的偶函數，在（0，+∞）上單調遞增，且f（1）=1，
∴f（x）在在（-∞，0）上單調遞減，且f（-1）=1，
∵關于x的不等式f（2x-1）＞1，∴2x-1＞1，或2x-1＜-1，求得x＞1，或 x＜0，
故原不等式的解集為{x|x＞1，或x＜0}．

點評 本題主要考查利用函數的奇偶性求函數的解析式，以及解不等式，屬于基礎題．