Question

2．下列命題：
①常數列既是等差數列又是等比數列；
②若直線l：y=kx-$\sqrt{3}$與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）；
③若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，則$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$
④如果（a-2）x²+（a-2）x-1≤0對任意實數x總成立，則a的取值范圍是[-2，2]．
其中所有正確命題的序號是②④．

Answer 1

分析 ①當常數列的項是0時，不是等比數列；
②利用數形結合求出直線l的傾斜角取值范圍即可；
③當$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$時，有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0；
④根據不等式恒成立，求出a的取值范圍．

解答 解：對于①，當常數列的項是0時，它是等差數列，不是等比數列，∴①錯誤；
對于②，如圖所示，直線l：y=kx-$\sqrt{3}$是過定點（0，-$\sqrt{3}$）的直線，
與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限時，
直線PA的斜率是$\frac{0+\sqrt{3}}{3-0}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，對應的傾斜角為$\frac{π}{6}$，
直線PB的斜率不存在，對應的傾斜角為$\frac{π}{2}$，
∴直線l的傾斜角取值范圍是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），②正確；
對于③，當$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0時，$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴③錯誤；
對于④，（a-2）x²+（a-2）x-1≤0對任意實數x總成立，
則a=2$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{{（a-2）}^{2}-4（a-2）•（-1）≤0}\end{array}\right.$
-2≤a≤-2
∴a的取值范圍是[-2，2]，④正確．
綜上，正確的命題是②④．
故答案為：②④．

點評 本題考查了等差與等比數列的應用問題，也考查了直線的斜率與傾斜角的應用問題，考查了平面向量的數量積以及不等式的恒成立問題，是基礎題目．