Question

2．下列命題：
①常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；
②若直線l：y=kx-$\sqrt{3}$與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）；
③若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，則$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$
④如果（a-2）x²+（a-2）x-1≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x總成立，則a的取值范圍是[-2，2]．
其中所有正確命題的序號(hào)是②④．

Answer 1

分析 ①當(dāng)常數(shù)列的項(xiàng)是0時(shí)，不是等比數(shù)列；
②利用數(shù)形結(jié)合求出直線l的傾斜角取值范圍即可；
③當(dāng)$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$時(shí)，有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0；
④根據(jù)不等式恒成立，求出a的取值范圍．

解答 解：對(duì)于①，當(dāng)常數(shù)列的項(xiàng)是0時(shí)，它是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，∴①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，如圖所示，直線l：y=kx-$\sqrt{3}$是過定點(diǎn)（0，-$\sqrt{3}$）的直線，
與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限時(shí)，
直線PA的斜率是$\frac{0+\sqrt{3}}{3-0}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，對(duì)應(yīng)的傾斜角為$\frac{π}{6}$，
直線PB的斜率不存在，對(duì)應(yīng)的傾斜角為$\frac{π}{2}$，
∴直線l的傾斜角取值范圍是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），②正確；
對(duì)于③，當(dāng)$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0時(shí)，$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$或$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，（a-2）x²+（a-2）x-1≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x總成立，
則a=2$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{{（a-2）}^{2}-4（a-2）•（-1）≤0}\end{array}\right.$
-2≤a≤-2
∴a的取值范圍是[-2，2]，④正確．
綜上，正確的命題是②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差與等比數(shù)列的應(yīng)用問題，也考查了直線的斜率與傾斜角的應(yīng)用問題，考查了平面向量的數(shù)量積以及不等式的恒成立問題，是基礎(chǔ)題目．